Kysymys:
Miksi muinaiset kreikkalaiset alun perin kiinnostuivat kartioleikkauksista?
Jack M
2015-05-11 03:45:28 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Kuinka paljon tiedetään tai voidaan arvata siitä, miksi kreikkalaiset alun perin kiinnostuivat hieman mielivaltaisesta koneen leikkaavan kartion rakentamisesta? Kuulemani kansanperinne on, että kartiot unohdettiin, kunnes ne osoittautuivat hyödyllisiksi kuvaamaan planeettojen kiertoratoja, mikä tekee vieläkin epätavallisemmaksi, että kreikkalaiset olisivat pitäneet kannattavana kirjoittaa niistä kokonaisia ​​kirjoja.

Kartioita ei unohdettu. Jokainen koulutettu henkilö opiskeli Euclidia. Ja Kepler tiesi tämän teorian hyvin.
@Gerald Edgar: Euclidissa ei ole kartioita. Loppukeskiajalla "koulutettu henkilö" opiskeli vain muutamia ensimmäisiä Eukleidesin lukuja.
Kolme vastused:
Conifold
2015-05-11 04:14:34 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Totuus on, että emme tiedä. Tunnemme löydön hyväksi saaman henkilön, Menaechmusin (noin 350 eKr.), joka on Cudidoksen Eudoxuksen opiskelija ja Platonin ystävä, yksi aikansa merkittävimmistä matemaatikoista. Nimet ellipsi, paraboli ja hyperboli antoivat heille Pergan Apollonius yli vuosisataa myöhemmin. Menaechmus kutsui heitä kirjaimellisesti akuutiksi osaksi, oikeaksi ja tylsäksi, koska ne voidaan saada leikkaamalla kartiot vastaavilla kärjen kulmilla kohtisuoraan generaattoriin nähden. Toiset kutsuivat heitä myös Menaechmian-kolmioiksi.

Perinteinen vastaus on, että syy oli Delianin ongelma, tunnetuin "antiikin kolmesta rakennusongelmasta". Delphin oraakkeli väitti Delosin kansalaisten kaksinkertaistavan kuution muotoisen alttarin koon ruton pysäyttämiseksi, ja kun he kaksinkertaistivat sivut ja mitään ei tapahtunut, täsmennettiin, että se oli kaksinkertaistettava. Kreikan ruttoa koskeva osa oikeaan aikaan voidaan vahvistaa, samoin kuin kreikkalaisella tapana kuulla Delphicin oraakkelia. Loput eivät ole täällä eikä siellä.

Alkuperäisen kuution puolen ottaminen yksikön kaksinkertaistamisena pienentää kuution nykyaikaisessa algebrallisessa merkinnässä $ x ^ 3 = 2 $ . Kreikkalaisilla ei ollut algebrallista merkintää, ja heidän suosimansa menetelmä geometristen ongelmien ratkaisemiseksi oli suoran reunan ja kompassin käyttö. Kuten tiedämme tänään, tällaista $ x $ ei voida luoda näillä työkaluilla. Chiosin Hippokrates huomasi kuitenkin, että tällaisen $ x $ voitaisiin löytää ratkaisemalla kaksinkertainen osuus $ 1: x = x: y = y: 2 $ , tai kuten kreikkalaiset sanoivat, "lisätään kaksi keskiarvoa" $ 1 $ ja $ 2 väliin $ .

Nykyään on triviaalia manipuloida nähdä, että Hippokratesen osuus vastaa yhtälöparia $ x ^ 2 = y $ ja $ y ^ 2 = 2x $ , joka kuvaa kahta parabolaa tai $ x ^ 2 = y $ ja $ xy = 2 $ , joka kuvaa parabolia ja hyperbolaa. Jos ne voidaan rakentaa, leikkauspiste antaa ratkaisun Delianin ongelmaan. Menaechmusin tehtävä oli huomattavasti vaikeampaa. Hän ei pystynyt manipuloimaan koordinaattikaavoja, kreikkalaisilla oli vain karkea prototyyppi, jota kutsutaan "oireiksi", eikä hän oletettavasti tiennyt käyristä, joilla on tällaisia ​​oireita etukäteen. Joten hänen täytyi kääntää oireet Hippokratesen osuudesta ja saada käsitys siitä, että käyrät, joilla on täsmälleen nämä oireet, voidaan saada leikkaamalla kartioita.

Jos näyttää vaikealta uskoa, niin on. On mahdollista, että Menaechmus sai opettajansa Eudoxuksen ja opettajansa opettajan Tarentumin Archytasin avulla joitain vihjeitä aiemmista, mekaanisista ratkaisuista Delianin ongelmaan. On myös mahdollista, että hän kokeili kartion osia muista syistä, ellipsit esiintyvät implisiittisesti esimerkiksi Eudoxuksen homokeskisissä tähtitieteellisissä malleissa ja huomasivat, että niillä on tarvittavat ominaisuudet Delianin ongelman ratkaisemiseksi. Ks. Yavetzin uusi rooli Eudoxuksen virtahevolle ja Riddelin Eudoxan-matematiikka ja Eudoxan-pallot saadaksesi tällaisten spekulaatioiden geometriset yksityiskohdat.

Oliko kreikkalaisilla todella kompassi nykyaikaisessa mielessä, vai käyttivätkö he vain työkalua köyden päässä?
@ja72 Ei tiedetä, mutta kumpaakin tapaa matemaatikot pysyivät poissa "työmiehen työkaluista" vasta myöhään renessanssiin ideologisista syistä, jolloin ilmestyi "modernit kompassit". On todennäköistä, että ainakin kreikkalaiset rakennusmestarit käyttivät yksinkertaisia ​​jakajaparia, katso [Milloin matemaatikot siirtyivät tapista ja köydestä suorakulmioon ja kompassiin?] (Https://hsm.stackexchange.com/a/10995/55)
Alexandre Eremenko
2015-05-11 07:07:08 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Tätä kysymystä on käsitelty useita kertoja matematiikan ylivuodosta: https://mathoverflow.net/questions/191909/discovery-and-study-of-conic-sections-in-ancient-greece

Siinä on myös viitteitä.

Yksi teoria on, että ne ilmestyivät, kun kreikkalaiset alkoivat miettiä kuinka tehdä tarkka aurinkokello. Tätä teoriaa on kehitetty useissa aihetta käsittelevissä kirjoissa ja artikkeleissa, ja edellä mainitsemani MO-kysymyksen parhaan vastauksen kohteena on tämä teoria. Joidenkin matematiikan historioitsijoiden mielestä tämä teoria ei kuitenkaan ole riittävän perusteltu.

Vieläkin uskottavampi teoria on, että ne löydettiin yritettäessä kaksinkertaistaa kuutio.

Se kartioleikkaukset unohdettiin, kun hellenistisen matematiikan lasku on oikein. Mutta tämä koskee myös tuon aikakauden muita suuria teoksia (Archimedes). Tätä seurasi tieteen täydellinen romahdus, ja noin vuosituhannen ajan ei yksinkertaisesti ollut ihmisiä, jotka pystyisivät ymmärtämään Apolloniusta tai Archimedesta. Sitten Kepler huomasi, että planeetat liikkuvat kartion osia, ja vähän myöhemmin Pascal osoitti ensimmäiset uudet lauseet niistä.

Luulin, että Omar Khayyam teki uutta työtä kartion osien käytöstä algebrallisten yhtälöiden ratkaisemiseksi, joka kattoi enemmän kuin kukaan kreikkalaisista. Oletan, että voidaan kiistää, onko tämä "uusia lauseita" vai ei, mutta jos niin, niin se tapahtui c. 550 vuotta ennen Pascalin syntymää. Vähintään sanottuna hän ymmärsi tekniikat :-)
@SteveJessop Oli ihmisiä, jotka asuivat noina aikoina Euroopan ulkopuolella?
@user89: Tietysti oli. Mutta todisteiden perusteella, joita meillä on, yksikään heistä, lukuun ottamatta harvat muslimimaailmassa eläviä, ei ollut kiinnostunut kartioleikkauksista.
@AlexandreEremenko Kirjoitit "... Tämän jälkeen seurasi tieteen täydellinen romahdus, ja noin vuosituhannen ajan ei yksinkertaisesti ollut ihmisiä, jotka pystyisivät ymmärtämään Apolloniusta tai Archimedesta."
Tarkoitin Euroopassa. Muslimimaailmassa romahdus ei ollut niin täydellinen. Mutta hellenistiseen tieteeseen verrattuna romahdus oli maailmanlaajuinen.
Pietro Majer
2019-11-28 17:26:03 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Pyydän eroamaan Conifoldin vastauksesta ja sanon, että tässä tapauksessa totuus on todennäköisempää, että tiedämme miksi, kohtuullisen hyvin. Kartioiden tutkimiseen on ainakin kaksi vahvaa käytännön syytä matemaattisen kiinnostuksen lisäksi sinänsä sekä fysiikasta, tarkalleen optiikasta että akustiikasta.

Tiedämme, että kuuluisalla Aleksandrian majakalla oli parabolinen projektori, joka oli näkyvissä melkein 50 km etäisyydellä Iosephuksen mukaan. Kreikkalaisten geometrien löytämän parabolin polttovälineiden tunteminen on välttämätöntä tällaisen edistyneen teknologisen laitteen rakentamiseksi, joka oli niin ihailtavaa nimetä "maailman seitsemänneksi ihmeeksi".

Tiedämme, että teattereilla oli äärimmäisen tärkeä merkitys kreikkalaisen maailman kulttuuri- ja yhteiskuntaelämässä, ja tiedämme, että teatterit suunniteltiin ja rakennettiin huolellisesti etenkin, jotta näyttelijöiden ääni olisi selkeästi esillä. (usein yli 10000) katsojan kuultavissa. Jälleen tieto kartioiden fokaalisista ominaisuuksista, jotka tiedämme heidän tietävän, on pakollista tähän tavoitteeseen. Akustinen vaikutus on edelleen havaittavissa muissa Kreikan teattereissa, joissa kartion muodot ja tarkennuksen sijainti voidaan mitata.

Hellenistisen tieteen yksityiskohtaista kuvausta varten suosittelen Lucio Russoa Unohdetut Vallankumous .



Tämä Q & A käännettiin automaattisesti englanniksi.Alkuperäinen sisältö on saatavilla stackexchange-palvelussa, jota kiitämme cc by-sa 3.0-lisenssistä, jolla sitä jaetaan.
Loading...