Kysymys:
Mitä eroa on Newtonin ja Leibnizin laskennassa?
Sameer Shemna
2014-10-29 10:25:56 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Onko Newtonin tekemässä Calculus-tutkimuksessa eroja Leibnizin tekemään tutkimukseen? Jos kyllä, mainitse pisteittäin.

Liittyy Math.SE: hen: http://math.stackexchange.com/questions/521929/what-did-newton-and-leibniz-actually-discover, http://math.stackexchange.com/questions/745922/how- did-newton-and-leibniz-oikeastaan-do-calculus, http://math.stackexchange.com/questions/306278/how-did-the-ancients-view-infinitesimals
Viisi vastused:
#1
+24
kaine
2014-10-29 20:56:40 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Newtonin merkinnät, Leibnizin ja Lagrangen merkinnät ovat kaikki jossain määrin käytössä tänään:

$$ \ dot {f} = \ frac {df} {dt} = f '( t) $$$$ \ ddot {f} = \ frac {d ^ 2f} {dt ^ 2} = f '' (t) $$

Lisää merkintäesimerkkejä on osoitteessa Wikipedia.

Myös Leibniz kehitti integraalin ($ \ displaystyle \ int_0 ^ \ infty f dt $) merkinnän. Newtonilla ei ollut tavanomaista integraatiomerkintää.

Olen lukenut James Gleickin "The Information" -kohdasta seuraavan: New Yorkin hallituksessa lopulta Cambridgeissa Lucasian-professuuriksi ottaneen Babbagein mukaan Newtonin merkinnät lamauttivat matemaattisen kehitystä. Hän työskenteli perustutkintona perustamaan Leibnizin merkintätavan, jota käytetään nykyään Cambridgessä, huolimatta yliopiston vastenmielisyydestä Newtonin ja Leibnizin konfliktin takia. Tämä merkintä on paljon hyödyllisempi kuin Newtonin useimmissa tapauksissa. Se tarkoittaa kuitenkin, että sitä voidaan pitää yksinkertaisena murto-osana, joka on virheellinen

* Se tarkoittaa kuitenkin sitä, että sitä voidaan pitää yksinkertaisena murto-osana, joka on väärä. * Ei totta. Hyvää keskustelua tästä on julkaisussa Blaszczyk, Katz ja Sherry, kymmenen väärinkäsitystä analyysin historiasta ja niiden purkamisesta, http://arxiv.org/abs/1202.4153. Katso myös http://en.wikipedia.org/wiki/Non-standard_analysis. Kuten Blaszczyk-artikkelissa selitettiin, Leibniz sai periaatteessa tämän täysin oikein, mukaan lukien se, mitä NSA: ssa kutsutaan nyt osamäärän dy / dx ja johdannaisen väliseksi eroksi, joka on kyseisen osamäärän vakio-osa.
#2
+8
Mikhail Katz
2016-04-06 16:40:13 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Merkintäkysymyksen lisäksi Newton kokeili useita perustavia lähestymistapoja. Yksi varhaisimmista liittyi loputtomiin ihmisiin, kun taas myöhemmin hän poisti heidät aikalaisensa filosofisen vastarinnan takia, mikä johtui usein konfesioiden välisiin riitoihin läheisesti liittyvistä arkaluonteisista uskonnollisista näkökohdista. Leibniz oli myös tietoinen riidoista, mutta hän käytti loputtomia pieniä ja eroja systemaattisesti laskennan kehittämisessä, ja tästä syystä hän onnistui houkuttelemaan seuraajia ja stimuloimaan tutkimusta - tai mitä hän kutsui Ars Inveniendi : ksi.

#3
+7
José Hdz. Stgo.
2016-04-07 03:55:57 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Sinun kannattaa ehdottomasti tutustua Arnoldin Huygens & Barrow, Newton & Hooke toiseen lukuun. Edesmennyt professori Arnold tiivisti siinä eron Newtonin matemaattisen analyysin ja Leibnizin lähestymistavan välillä seuraavasti:

Newtonin analyysi oli voimasarjojen soveltaminen liikkeen tutkimiseen ... For Leibniz, .. .analyysi oli muodollisempi algebrallinen tutkimus differentiaalirenkaista.

Arnoldin yleiskatsaus Leibnizin panokseen aiheeseen on maustettu merkityksettömällä määrällä ajatuksia herättäviä huomautuksia:

Muiden geometrien - esimerkiksi Huygensin ja Barrowin - työssä esiintyi myös monia tiettyyn käyrään liittyviä esineitä [esimerkiksi: abscissa, ordinaatti, tangentti, tangentin kaltevuus, kaarevan alueen alue hahmo, subtangentti, normaali, subnormaali ja niin edelleen] ... Leibniz, yksilöllisen taipumuksensa kanssa universaalisuuteen [hän piti välttämättömänä löytää niin sanottu ominaisuus, jotain universaalia, joka yhdistää kaiken tieteen ja sisältää kaikki vastaukset kaikkiin kysymyksiin], päätti, että kaikki nämä quan olisi tarkasteltava samalla tavalla. Tätä varten hän otti käyttöön yhden termin mihin tahansa määrään, joka liittyy tiettyyn käyrään ja jolla on jokin funktio suhteessa annettuun käyrään - termi funktio...

, Leibnizin mukaan monet toiminnot liittyivät käyrään. Newtonilla oli toinen termi - sujuva -, joka merkitsi virtaavaa määrää, muuttuvaa määrää ja siten liittyvää liikkeeseen. Pascalin tutkimusten ja omien argumenttiensa pohjalta Leibniz kehitti melko nopeasti muodollisen analyysin siinä muodossa, jossa me sen nyt tunnemme. Eli muodossa, joka soveltuu erityisesti opettamaan analyysiä ihmisille, jotka eivät ymmärrä sitä ihmisille, jotka eivät koskaan ymmärrä sitä ... Leibniz vahvisti varsin nopeasti muodolliset säännöt äärettömien ihmisten kanssa, joiden merkitys on hämärä.

Leibnizin menetelmä oli seuraava. Hän oletti, että koko matematiikka, kuten koko tiede, löytyy meistä, ja pelkästään filosofian avulla voimme lyödä kaikkea, jos otamme tarkkaavaisesti huomioon mielemme sisällä tapahtuvat prosessit. Tällä menetelmällä hän löysi erilaisia ​​lakeja ja joskus hyvin menestyksekkäästi. Hän esimerkiksi huomasi, että $ d (x + y) = dx + dy $ , ja tämä merkittävä löytö pakotti hänet heti miettimään, mikä on tuotteen ero . Ajatustensa yleismaailmallisuuden mukaisesti hän pääsi nopeasti johtopäätökseen, että erilaistumisen [oli oltava] rengashomomorfismi eli että kaava $ d (xy) = dx dy $ täytyy pitää kiinni. Mutta jonkin ajan kuluttua hän vahvisti, että tämä johtaa epämiellyttäviin seurauksiin, ja löysi oikean kaavan $ d (xy) = xdy + y dx $ , jota nyt kutsutaan Leibniziksi sääntö. Kukaan induktiivisesti ajattelevista matemaatikoista - ei Barrow eikä Newton, jota tästä syystä marxilaisessa kirjallisuudessa kutsuttiin empiiriseksi perseiksi - ei olisi voinut [koskaan saada] Leibnizin alkuperäistä hypoteesia päähänsä, koska tällaiselle henkilölle se oli aivan ilmeistä mikä on tuotteen ero yksinkertaisesta piirustuksesta ...

Arnoldin väite, jonka mukaan Leibniz "päätyi johtopäätökseen", että $ d (xy) = dxdy $ on virhe, josta on keskusteltu laajasti muualla. Leibniz ei esittänyt tällaista väitettä, vaan päinvastoin kysyi onko totta. Ja kyllä, hän tuli siihen tulokseen, ettei se ollut niin, tarpeeksi pian. Arnoldin sarkastinen sävy johtuu todennäköisesti hänen epäluottamuksestaan ​​(seuraten Berkeleyä ja Cantoria?) Äärettömistä ihmisistä, mikä on ilmeistä myös joissakin absurdeissa väitteissä, jotka hän esittää täällä heidän väitettyjensä "epäselvyydestä".
#4
+3
Carlos Bribiescas
2014-10-29 18:26:55 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Käytännön näkökulmasta merkinnät olivat huomattavasti erilaiset.

Erityinen arkaluonteinen asia on minulle se, että Leibniz-merkinnän avulla voit virheellisesti työskennellä johdannaisten kanssa, ikään kuin ne olisivat matemaattinen murtoluku. Valitettavasti tämä "toimii" paljon aikaa, joten sitä käytetään edelleen, jopa yliopistokursseilla, tänään.

En usko, että pikanäppäimissä on mitään vikaa siinä määrin, että ne eivät ole '' ei häiritse ymmärtämistä. Tässä tapauksessa uskon, että se aiheuttaa väärinkäsityksen aiheesta. Pelkästään tämä tuo mielestäni Newtons-merkinnän Leibnizin yläpuolelle.

Kiitos @carlosbriebiescas oivalluksista, luen sen heti, onko tämä ainoa eroavaisuus?
-1: Pelkään, että tällaiset väitteet perustuvat väärinkäsitykseen Leibnizin merkinnöistä ja sanan funktion historiallisesta käytöstä. Katso lisätietoja näistä keskusteluista: [Jos d / dx on operaattori, mitä se toimii?] (Https://mathoverflow.net/q/115416/745) ja [Polymorfiset funktiot vektorilaskennassa] (https: //matheducators.stackexchange.com/questions/13520/polymorphic-functions-in-vector-calculus/13525#13525)
#5
+3
Sholto Maud
2017-01-21 17:40:40 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Loemkerin käännös: Ehdotukset I, 2, 14), koska se edellyttää harmonista liikettä. "

Leibniz, Gottfried Wilhelm Filosofiset paperit ja kirjeet: Valinta / käännetty ja muokattu, Leroy E. Loemkerin esittely. 2. painos Dordrecht: D.Reidel, 1970. s.362



Tämä Q & A käännettiin automaattisesti englanniksi.Alkuperäinen sisältö on saatavilla stackexchange-palvelussa, jota kiitämme cc by-sa 3.0-lisenssistä, jolla sitä jaetaan.
Loading...