Kysymys:
Kuinka vektori calculus nabla ∇ -identiteetit johdettiin ensin?
Secret
2015-02-08 11:31:58 UTC
view on stackexchange narkive permalink

(Math Stack Exchange ehdotti, että sama lähettämäni kysymys siirretään tänne; Math Stack Exchangen kysymys siis poistettiin. Siirtosuositussanoma löytyy täältä, vaikka sivu on nyt poistettu.)

Aina kun opiskelijoita pyydetään johtamaan tai todistamaan vektorilaskennan identiteetit, kuten

$$ \ nabla ^ 2 \ vec {A} = \ nabla (\ nabla \ cdot \ vec {A}) - \ nabla \ kertaa (\ nabla \ kertaa \ vec {A}) $$

heitä pyydetään usein laajentamaan hakemistomerkintää ja järjestämään uudelleen tarvittavien lausekkeiden antamiseksi.

Tämä sai minut miettimään, miten nämä identiteetit on ensin johdettu (koska kaikki eivät ole seurausta johdannaisten tuotesäännöstä).

Lyhyt haku historiasta näytti viittaavan seuraavaan:

Kompleksiluvut $ \ to $ quaternions $ \ to $ Grassmann (ulkoinen algebra) $ \ to $ Vector -analyysi.

Toinen Lyhyt haku tensoreista ja Albert Einstein osoitti, että vektorianalyysin kaksi kehitysjaksoa ja tensorianalyyseillä on jonkin verran päällekkäisyyksiä, joten voi olla mahdollista, että he saattavat olla tietoisia toistensa kehityksestä.

Koska yllä olevassa vektorianalyysihistoriatilissä ei mainita tensoreista eikä indeksimerkinnöistä , kuinka vektorilaskennan identiteetit alun perin johdettiin, mahdollisesti ilman indeksimerkintää käytettävissä tuolloin?

Tämä ei ole "ulkoinen algebra", vaan "ulkoinen laskenta" (differentiaalimuotojen laskenta), joka otettiin käyttöön vektorilaskelman jälkeen (E. Cartan 1920-luvulla).
üks vastaus:
Conifold
2015-02-09 08:30:50 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Hakemistomerkinnät ovat vain lyhenne koordinaattilaskelmista, mikä tulee tarpeelliseksi monissa ulottuvuuksissa, mutta on vain kätevä ulottuvuuksissa 3 ja 4. Muuttujia ei tarvitse edes indeksoida, ne voidaan vain merkitä eri kirjaimilla.

Voit nähdä, kuinka Hamilton käsitteli nabla-identiteettejä, hänen 1844-lehden On Quaternions -osion 49-50 kohdista. Pohjimmiltaan hän ilmaisee ne koordinaateissa ja manipuloi koordinaattilausekkeita kvaternionalgebran sääntöjen mukaisesti. Maxwell tekee saman sähkömagneettisen kentän dynaamisen teorian VI osassa, paitsi että ilman kvaternioneja hän johtaa kaavat koordinaateina ja kirjoittaa ne sitten uudelleen nabla. Muuten, Maxwell oli se, joka kutsui nablaa "nabla" leikkisästi samanlaisen muotoisen egyptiläisen harpun nimellä. Gaussin ja Greenin kaavat ilmaistiin alun perin ja johdettiin ilman hakemistomerkintää tai edes nablaa.

Gibbsin symbolisen vektorilaskelman suuri etu, joka ilmestyi luonnoksessa ennen vuotta 1888 ja oli vuonna 1901 Wilsonin kanssa kirjoittamassaan kirjassa, hän listasi perusidentiteetit ja tarjosi sääntöjä, joiden avulla niistä voitaisiin johtaa monimutkaisempia. Hänen muodollisuutensa oli kuitenkin epätäydellinen, jotkut identiteetit eivät kuitenkaan vähene perusasetuksiin, ja ne on johdettava suoraan koordinaateista, ja se toimi vain 3 ulottuvuudessa. Joten Einstein ei voinut käyttää sitä suhteellisessa suhteessa. Ricci ja Levi-Civita kehittivät tensoriformalismin 1890-luvulla, ja indeksimerkinnän puolustajat ovat heitä. Katso lisää täältä. Einstein omisti sen ja otti käyttöön joitain yksinkertaistavia käytäntöjä, mukaan lukien summaussääntö.

Jotta saataisiin täysin koordinaateista vapaa formalismi, joka vähentää vektorilaskennan ja yleistää korkeammille ulottuvuuksille, tarvitaan Cartanin differentiaalimuotoja, differentiaali, asunnot, terävät ja Hodge-tähti. Sitä kehitettiin vasta 1950-luvulla.

hieno yhteenveto! Myös "nablan" alkuperä on hämmästyttävä, mutta linkkisi mukaan sen esitteli Hamilton, ei Maxwell.
@Javier Hamilton esitteli symbolin, mutta hänellä ei ollut nimeä sille ja kirjoitti sen sivuttain. Maxwell käänsi sitä 90 dollaria ^ \ circ $, kun kirjoitamme tänään, joten se näyttää enemmän harpulta ja lempinimeltään "nabla", Gibbs hyväksyi Maxwellin transkription, mutta ei nimeä, hänen versionsa oli "del", koska se on "niin lyhyt" ja helppo lausua, että jopa monimutkaisissa kaavoissa, joissa $ \ nabla $ esiintyy useita kertoja, puhujalle tai kuuntelijalle ei aiheudu haittaa ".


Tämä Q & A käännettiin automaattisesti englanniksi.Alkuperäinen sisältö on saatavilla stackexchange-palvelussa, jota kiitämme cc by-sa 3.0-lisenssistä, jolla sitä jaetaan.
Loading...