Kysymys:
Miksi ekvivalenssiluokkia nimettiin luokiksi eikä sarjoiksi?
evenodd
2020-03-28 01:07:00 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Jos $ R \ subseteq A \ kertaa A $ on vastaavuussuhde (ts. suhde, joka heijastaa $ A $ , symmetrinen ja transitiivinen), sitten jokaiselle elementille $ x \ A $ , osajoukolle $ [x] _R = \ {y \ in A: \ langle x, y \ rangle \ in R \} $ / $ A $ on kutsutaan $ A $ vastaavuusluokaksi . Joukkoryhmässä sana luokka viittaa yleensä alkioiden kokoelmaan, joka ei välttämättä ole joukko. Ihmettelen, miksi $ [x] _R $ ei kutsuttu vastaavuusjoukoksi tai vastaavuusjoukoksi.

FYI, epäilen nykyisen enimmäkseen tavallisen eron nostamisen "joukon" ja "luokan" välillä on hieman historiallista, koska todennäköisesti harvat matemaatikot ennen 1940-lukua olisivat olleet tietoisia tällaisista asioista tai välittäneet siitä. Ehkä vasta 1960-luvun puoliväliin saakka, jolloin Cohenin asetettu teoriatyö ja kategoriateorian syntyminen tekivät tästä erosta enemmän valtavirtaa. Ennen tätä "luokkaa" käytettiin todennäköisesti kuten "kokoelmaa", nimittäin vaihtoehtoisena sanana joukolle, kun halutaan erottaa (esimerkiksi) ryhmäelementtien joukko alaryhmien joukosta. **(jatkui)**
Lauseke "luokan yhtälö" jatkuu myös ryhmän teoriassa 1900-luvun alkupuolelle (ehkä 1800-luvulle; en ole tutkinut tätä), joten "luokan" käyttö voi yksinkertaisesti johtua siitä käytöstä.
@DaveLRenfro Von Neumann käytti "vastaavuusluokkaa" joissakin algebrallisissa yhteyksissä 1920-luvun lopulla, ja hän esitteli joukko / luokka-erotuksen nimenomaisesti vuonna 1925. Weber esitteli "luokan kentät" vuonna 1891. Joten mielestäni toinen arvauksesi on todennäköisempi, kun taas Siirtyminen joukkoihin tapahtui perustekijöissä, joissa sillä oli merkitystä, betonialueilla, joissa säilytettiin aikaisempi käyttö.
üks vastaus:
Conifold
2020-03-28 01:58:48 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Yksi yksityiskohtainen kuvaus ekvivalenssisuhteiden historiasta ja siihen liittyvästä terminologiasta on Equivalence: Ashgarin yritys yrittää ideoiden historiaa, joka perustuu suurelta osin Fowlerin julkaisuihin Historia Mathematica foorumi. Terminologia oli pitkään tekemässä, ja "vastaavuussuhde" ilmestyi paljon aikaisemmin kuin "vastaavuusluokka". Vaikka lähteet ja Ashgari eivät suoraan vastaa siihen, miksi "luokan" valitseminen oli suositeltavaa, mahdollisesta syystä on yksi vihje.

Jo ennen kuin Jourdain nimitti "vastaavuussuhteen" niin abstraktisti, tietty käyttö "vastaavuus" ja sen luokat olivat merkittäviä, ja pysyivät sellaisina jonkin aikaa sen jälkeen. Se on joukoiden vastaavuus ekvipotenssin tai kardinaalin perusteella, suhteena on niiden välisen bijektiivisen vastaavuuden olemassaolo, jonka Hume esitteli ja jota Cantor suositteli. Tällöin ekvivalenssiluokat (kaikista sarjoista, joilla on sama kardinaali) eivät ole itse sarjaa. Koska tämä näytti olevan paradigmaattinen esimerkki, abstraktin terminologian laatimisen aikaan kirjoittajat olisivat voineet suosia sellaisten sanojen yhdistelmää, joita he olivat tottuneet kuulemaan. Tällä tavalla ei tarvinnut selittää, että kardinaalisuuden tapauksessa "ekvivalenssijoukot" eivät ole sarjoja.

Von Neumann esitteli joukko / luokka-eron joukko-teoriassa nimenomaisesti vuonna 1925 (siitä tuli joukko-teorian aksiomatisaation NBG: n perusta, vaihtoehtoinen luokittelemattomalle ZFC: lle), mutta vuosina 1926 ja 1929 hän käytti ilmaisu "vastaavuusluokka" joissakin algebrallisissa tilanteissa. Kardinaalisuuden lisäksi algebrassa oli jonkin verran olemassa olevaa terminologiaa "luokkien" kanssa, esim. Weber esitteli "luokan kentän" vuonna 1891, katso Millerin aikaisimmat tunnetut käytöt, Jordan ryhmähahmoja käsittelevässä artikkelissa puhui "konjugaattikorvausten luokista" (tulla konjugaatioluokiksi). Joten näyttää siltä, ​​että terminologinen siirtyminen luokista sarjaan tapahtui vain kapeasti, missä sillä oli merkitystä, ja vanhempi terminologia oli yleensä suositeltava siellä, missä se oli jo vakiintunut.

Tässä on joitain asiaankuuluvia kohtia Ashgarista:

" Kutsun heijastavaa, symmetristä ja transitiivista suhdetta isoidiksi suhteeksi. Philip Jourdain (1912) esitteli viidennessä kansainvälisessä kongressissa artikkelinsa isoidisista suhteista ja irrationaalisen määrän teorioista Tuolloin "abstraktin määrittely" (Russell 1903, s. 219-220) oli melko vakiintunut, mutta termi "ekvivalenssi" liittyi pääasiassa kardinaalilukujen kontekstiin. ... Vuoteen 1919 mennessä kumpikaan yhdistelmä "ekvivalenssisuhde" n tai ”vastaavuusluokka” oli käytössä.

Höhere Algebran ensimmäisen painoksen ensimmäisen luvun Äquivalenzrelationen und Klasseneinteilungen -osiossa Hasse (1926) kirjoitti: "Me kutsumme tällainen hajoaminen $ M $ -osio, ja osajoukot määrittivät siten sen luokat ". (Hasse 1954, s.22; Higher Algebra on vuonna 1933 julkaistun Höhere Algebran kolmannen painoksen englanninkielinen käännös)

Mengenlehren kolmannessa painoksessa (Hausdorff 1914; kolmas painos julkaistiin vuonna 1937 ja sitten nimellä Set Theory englanniksi vuonna 1957) termi vastaavuus liitetään edelleen vain kardinaalisuuteen. Jopa vuonna 1942 ja julkaisussa Theory of Equivalence Relations, Oystein Ore kutsui heitä "osion lohkoiksi $ P $ " (Ore 1942, s.574 ) .

Von Neumann (1926, 1929), Hopf (1930) ja Seifert ja Threlfall (1934) käyttivät termiä "Äquivalenzklasse", von Neumann (1936) "vastaavuus". - luokka "(yhdysmerkillä) ja Salomon Lefschetz (1938, 1942)" vastaavuusluokka "(ilman väliviivaa). Terminologian oli tarkoitus merkitä luokkia, jotka on rakennettu tietyillä kontekstualisoiduilla vastaavuuksilla. Kukaan näistä kirjoittajista ei myöskään tuntenut velvollisuutta määritellä "ekvivalenssiluokkia" yleisesti ja niiden työskentelyolosuhteiden ulkopuolella.

Perustava hoito löytyy ensimmäisestä luku Tukey'n lähentymisestä ja yhdenmukaisuudesta topologiassa (Tukey 1940, s. 4), jossa yhdistelmät "ekvivalenssisuhde" ja "ekvivalenssiluokka" esiintyvät samassa paikassa ... Yleensä yhdistelmä ioni "ekvivalenssiluokka" tuli yleiseksi paljon myöhemmin kuin "ekvivalenssisuhde", kun taas lähempänä vuotta 1950 voimme havaita molempien yhdistelmien selkeät käytöt rinnakkain. "



Tämä Q & A käännettiin automaattisesti englanniksi.Alkuperäinen sisältö on saatavilla stackexchange-palvelussa, jota kiitämme cc by-sa 4.0-lisenssistä, jolla sitä jaetaan.
Loading...