Kysymys:
Millainen matemaattinen kehitys / löydöt saivat kuvitteelliset luvut hyväksymään sinä aikana (1700-luku), jonka he tekivät?
Tom Au
2014-10-29 04:42:14 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Eräässä Wiki-artikkelissa kuvitteellisista numeroista väitettiin, että "kuvitteellisten numeroiden käyttöä ei hyväksytty laajalti ennen kuin Leonhard Euler (1707–1783) ja Carl Friedrich Gauss (1777–1855) työskentelivät. ). "

Mikä motivoi Eulerin ja Gaussin panosta kuvitteellisten lukujen teoriaan? Esimerkiksi tiedän, että Euler tuotti kaavan, joka myöhemmin johti DeMoivren lauseeseen, mutta en oikein ymmärrä miksi. Ja heidän elämänsä oli tuskin päällekkäinen, joten miksi kukaan "välissä" ei noutanut "viestikapula" Eulerista Gaussiin?

(Ironista kyllä, kuvitteellisia lukuja pilkannut Rene Descartes perusti "Cartesian" ( 2x2) koordinaatistojärjestelmä, joka rinnastaa tasoa, jolle myös kuvitteelliset luvut piirretään. Tämä on voinut tapahtua "vahingossa".)

Pieni nitti: de Moivren lause edeltää Eulerin identiteettiä; se oli hänen alun perin johdettu yhdessä muodossa vuonna 1707 ja myöhemmin sen tutussa muodossa vuonna 1722. Eulerin henkilöllisyyttä ei tarvita de Moivren lauseen todistamiseen, mutta se yksinkertaistaa todistusta jyrkästi.
Hyviä viitteitä tähän ovat Tristan Needhamin kirjan * Visuaalinen monimutkainen analyysi * ensimmäinen luku ja Stillwellin * Matematiikka ja sen historia * -kohdan kompleksilukuja käsittelevät luvut.
Kolme vastused:
#1
+19
Danu
2014-10-29 05:11:05 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Kompleksilukujen ensimmäinen vakava käyttö on neliö-, kuutio- ja kvartsipolynomien juurien löytäminen. Cardano osoitti teoksessa Ars Magna (1545) ensin, että toisen asteen yhtälöillä voi olla (muodollisesti) monimutkaisia ​​juuria, vaikka hän ei kutsunut niitä niin; hän sanoi, että he olivat "yhtä hienovaraisia ​​kuin [hyödyttömiä]". Bombellin algebratekstissä (1572) hän kehitti monimutkaisen aritmeettisen säännöt ja osoitti, että Cardanon kuutio-kaava voi johtaa todellisiin ratkaisuihin, vaikka välitulokset olisivatkin kuvitteellisia. Muuten, minulle on kerrottu useaan otteeseen, että merkintä $ i = \ sqrt {-1} $ kehitettiin vain suojautumaan yleiseltä virheeltä todistetaan ' $$ (\ sqrt {-1}) ^ 2 = \ sqrt {(- 1) ^ 2} = \ sqrt {1} = 1 $$

Keskeinen oivallus, joka saavutettiin 1700-luvun alussa, on monimutkaisten numeroiden ja geometrian välinen syvä yhteys. Havaittiin, että $ i $ voidaan käyttää yksinkertaistamaan monia trigonometrisiä identiteettejä, ja vuonna 1748 Euler löysi kuuluisan ja kauniin kaavan $$ e ^ {it} = \ cos t + i \ sin t $$ (Johdanto oli melko erilainen kuin nykypäivän oppikirjoissa yleensä esitetty; katso tämä merkintä sarjassa Kuinka Euler teki sen .)

Kompleksiluvun käsitys tason pisteenä on toinen huomionarvoinen löytö. Tämä rakennus oli Wesselin käytössä jo vuonna 1799, ja Argand löysi sen itsenäisesti uudelleen, mutta se sai todella suosiota, kun Gauss julkaisi tutkielmansa monimutkaisista numeroista. Tämä kirja vahvisti myös suuren osan modernista merkinnästä ja terminologiasta, jota käytetään monimutkaisessa analyysissä.

BTW, tässä on Wesselin alkuperäinen paperi. http://books.google.com/books?id=8jIyAQAAMAAJ&pg=PA336&dq=Nye+samling+af+det+Kongelige+danske+videnskabernes+selskabs+skrifter&hl=fi&sa=X&ei=Z0FwVMHDIbHmsASa06GQG&A=4GQC&&==Google täällä: http://books.google.com/books?id=idM6nvbz9xgC&printsec=frontcover#v=onepage&q&f=false
Mitä tulee syyn $ i $ käyttöönottoon, toinen mahdollinen selitys: tuntui, että tämä tärkeä matemaattinen vakio ansaitsi tavallisen nimen, kuten $ e $ ja $ \ pi $. Vastauksessa annettu selitys mainitaan Wikipediassa, mutta siihen on merkitty * [viittaus vaaditaan] *.
#2
+6
Alexandre Eremenko
2014-10-29 07:12:58 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Vain täydentämään Danun vastausta. Jotkut ihmiset käyttivät monimutkaisia ​​numeroita 1500-luvulta lähtien, mutta Laaja hyväksyntä tuli myöhemmin (1700-luvun lopulla), kun useat ihmiset (Argand, Vessel, Gauss) löysivät geometrisen tulkinnan.

Tämä oli ilmeisesti ratkaiseva askel. Silti heitä ei tunnustettu yleisesti. He sanovat, että edes Chebyshev ei koskaan käyttänyt niitä.

Toinen tapahtuma, joka voi olla merkittävä: 1800-luvun alussa fyysikot alkoivat käyttää niitä (Fresnel).

Tietoja Frenelistä: onko sinulla viitteitä? En löytänyt Fresnelin käyttämästä monimutkaisia ​​lukuja Jed Buchwaldin erittäin kattavassa * Valon aaltoteorian nousu; Fresnel näyttää tarttuvan siniin ja kosiniin.
En ole lukenut Fresneliä. Todennäköisesti nämä tiedot ovat peräisin Whittakerilta, Eetterin ja sähkön teorioiden historia, mutta minun on tarkistettava. Kyse on nimenomaan sisäisestä täydellisestä heijastumisesta (katso Wikipedia), mutta en ole varma, että Wikipedian johdanto on Fresnelin oma.
#3
+5
timur
2017-09-28 08:08:41 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Kuutiopolynomien juurien laskemisen välttämättömyyden lisäksi polynomiyhtälöissä on toinen, perustavanlaatuisempi roolikompleksi, jota alettiin arvostaa vasta 1700-luvulla. Tämä rooli ilmaistaan ​​ algebran peruslause , joka sanoo, että kaikilla epävakaisilla polynomisilla yhtälöillä on ainakin yksi juuri, jos sallimme kompleksilukujen olla juuret. Toisin sanoen jos $ a_0, a_1, \ ldots, a_n $ ovat reaalilukuja, että ainakin yksi seuraavista: $ a_1, a_2, \ ldots, a_n $, on nolla, sitten yhtälö \ begin {yhtälö} \ label {e: polynomi-x-0} p (x) = a_nx ^ n + a_ {n- 1} x ^ {n-1} + \ ldots + a_1x + a_0 = 0, \ end {yhtälö} sisältää ratkaisun edellyttäen, että $ x $: lla voi olla monimutkaisia ​​arvoja. Jos $ a_1 = a_2 = \ ldots = a_n = 0 $ , niin yhtälöstä $ p (x) = 0 $ tulee $ a_0 = 0 $, jolla ei ole mitään (monimutkaista) ratkaisua, kun $ a_0 \ neq0 $ .Joten ehto, että ainakin yksi seuraavista: $ a_1, a_2, \ ldots , a_n $ ei ole nolla (ts. $ p (x) $ ei ole vakio) on yksinkertaisesti sulkea pois tämä triviaali tapaus. algebrasta on ihmeellistä, koska kompleksiluvut on suunniteltu ratkaisemaan mikä tahansa asteen yhtälö, ja on a priori ajateltavissa, että meidän on otettava käyttöön uudenlainen "luku" joka kerta, kun nostamme polynomin yhtälön astetta Ensimmäisen algebran peruslauseen muotoilun antoi Albert Girard (1595-1632) vuonna 1629, vaikka hän ei yrittänyt todistaa. Tosiaan tämän lauseen tarkat todisteet ilmestyivät vasta 1800-luvun alkupuolella, mikä merkitsee muuten aikakauden alku, jolloin kompleksilukujen olemassaolo ja hyödyllisyys hyväksyttiin laajalti.

Kaikki epäilyt kompleksilukujen olemassaolosta ja merkityksestä hävitettiin kokonaan kompleksianalyysin em kehittämisen jälkeen >, joka tunnetaan myös nimellä funktioteoria . Alkuperäinen motivaatio monimutkaisen muuttujan funktioiden tutkimiseen oli käyttää niitä laskemaan (tai yksinkertaistamaan) todellisia määriteltyjä integraaleja ja edelläkävijät tähän suuntaan tekivät Euler ja Joseph-Louis Lagrange (1736-1813) noin vuosina 1760-1780, ja tutkimuksen aloitti myöhemmin 1810-luvulla Augustin Louis Cauchy (1789-1857), joka huomasi vuoteen 1821 mennessä, että monimutkaisilla toiminnoilla on oma rikas teoriansa. Gauss saavutti saman käsityksen jo vuonna 1811, ja hänellä oli tärkeä rooli kompleksilukujen popularisoinnissa, mutta hän ei suoraan edistänyt monimutkaisten analyysien kehittämistä. Cauchy kehitti kaikki monimutkaisen analyysin perustiedot, ehkä lukuun ottamatta Laurent-sarjaa, joka ilmestyi ensimmäisen kerran Pierre Alphonse Laurentin (1813-1854) vuonna 1843 toimittamassa paperissa.



Tämä Q & A käännettiin automaattisesti englanniksi.Alkuperäinen sisältö on saatavilla stackexchange-palvelussa, jota kiitämme cc by-sa 3.0-lisenssistä, jolla sitä jaetaan.
Loading...