Kysymys:
Missä muodossa metamatematiikan ala on nykyään olemassa?
Brian Rushton
2014-10-29 05:20:28 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Kirjoitin uudestaan ​​Wikipedia-artikkelia metamatematiikkaa varten, ja viitteiden löytäminen 1930-luvun jälkeen oli hyvin vaikeaa. Tärkeimmät teokset näyttävät olleen Gödelin täydellisyys- ja epätäydellisyyslauseke.

Onko nykyään matematiikan alaa, joka on metamatematiikan hengellinen seuraaja, jota ovat tutkineet Gödel, Hilbert ja Principia Mathematican kirjoittajat?

Pidän tästä kysymyksestä, koska se sulkee pois wikipedian käytön vastauksessa! :)
Olen lukenut jonkin aikaa GEB: n ("Godel Escher Bach"; Hofstadter) lukemisesta, mutta tämä saattaa johtaa johtoon vai päättyykö se Turingiin (ts. Ei kaukana Godelista!)?
Myönteinen ääni tämän aiheen käsittelemiseksi Wikipediassa.
Kaksi vastused:
#1
+13
Andrés E. Caicedo
2014-11-01 02:08:41 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Nykyään metamatematiikka on vakio osa matemaattisen logiikan maisemaa.

Toisaalta suurinta osaa matematiikan perusteista tehtävästä työstä tulisi todennäköisesti pitää metamatemaattisena. Vakiopohja on asetusteoreettinen, ja ZFC ja sen variantit ovat tavanomaisia ​​muotoiluja. Mutta tämä ei ole ylivoimaisesti ainoa vaihtoehto, ja esimerkiksi viime aikoina on tehty työtä abstraktin homotoopian teoriaan perustuvista yksiarvoisista säätiöistä. Tavallaan tämä on kenties lähempänä Principiaa kuin ZFC, koska tyyppiteorialla on vakava rooli. Toisaalta lähestymistapa on todella kategoriateoreettista ja luokkia, joita ei ole oikeasti suunniteltu Principian aikaan. Vaikka tämä uusi lähestymistapa saa paljon huomiota, logistiikkayhteisö on vasta alkamassa ymmärtää sen laajuutta ja mahdollisuuksia. FOM: n (matematiikan perusteet) sähköpostilistan viimeisimmät ketjut -sarja havainnollistaa nykyistä jännitystä.

Suuri osa tutkimuksesta matemaattisen logiikan vakioalueilla johtuu metamatemaattisista näkökohdista. , vaikka ei tarkistettujen säätiöiden merkityksessä.

Esimerkiksi käänteinen matematiikka (mainitaan myös toisessa vastauksessa) tutkii kysymystä siitä, mitä joukko-olemassaolo-aksiomia todella tarvitaan vakio matemaattisiin argumentteihin. Tyypillisissä tuloksissa väitetään, että vakiolause (kuten klassisen analyysin väliarvolause) vastaa tai ainakin tarkoittaa (kohtuullisen heikossa taustateoriassa, jossa keskustelu käydään) abstraktia "olemassaolon" aksiomia (esim. jokaisella äärettömällä binääripuulla on ääretön haara) tai matemaattisen induktion esiintymä.

Todistusteoria käsittelee teorioita matemaattisina esineinä ja tutkii niiden vahvuutta joko todistusten pituuden perusteella (sopivasti määritelty) verrattuna joihinkin vakiovaihtoehtoihin tai hienovaraisemmilla tavoilla (kuten ns. todisteen näkökohdat) -teoreettiset ordinaalit). Esimerkiksi Peano-aritmeettisessa järjestelmässä, joka on standardi ensiluokkainen aksioomien järjestelmä numeeriteoriaa varten, voimme helposti määritellä Turingin koneet, tavallisen "tietokoneohjelmien" virallistamisen. Voimme sitten todeta, onko luonnollisten numeroiden binäärisuhde < 'rekursiivinen, mikä tarkoittaa, että on olemassa algoritmi (Turingin kone), joka voi päättää minkä tahansa numeroparin n, m, riippumatta siitä, onko n<'m. Monet rekursiiviset suhteet ovat itse asiassa hyvin järjestettyjä, ja kun otetaan huomioon tällainen suhde R ja teoria T (laajentamalla Peano-aritmeettista), voimme kysyä, voiko T olettaa, että R on hyvin järjestyvä. Todistettavien hyvin tilausten pituus on yleensä merkittävästi pieni verrattuna kaikkien rekursiivisten hyvin tilausten pituuteen. Sitten voimme verrata teorioita tarkistamalla, mitkä niistä voivat osoittaa pidempien (rekursiivisten) hyvin järjestettyjen tilausten hyvin järjestettävyyden. Tämän kuvauksen perusteella tämä näyttää hieman epäkeskiseltä, mutta tämä on läheisesti sidoksissa siihen, kuinka paljon transfiniittistä induktiota teoria voi muodostaa ja todistaa, joten nämä todisteiden teoreettiset järjestelyt ovat itse asiassa hyvin kohtuullisia mittapuita voimalle ilmaisun ja teorioiden vahvuus.

Joukko-teoriassa yksi vakioteemoista on teorioiden johdonmukaisuuden vertailu. Goedelin työstä tiedämme, että kohtuullinen teoria T ei voi todistaa omaa johdonmukaisuuttaan, joten jos teoria T onnistuu todistamaan teorian S johdonmukaisuuden, tämä antaa meille luonnollisen tavan, jolla T on vahvempi kuin S. hierarkia on kiehtova matemaattinen esine. On käynyt ilmi, että ZFC: n luonnollisten laajennusten T kohdalla meillä on tapana pystyä tunnistamaan suuri kardinaali-aksioma, joka lisättäessä ZFC: hen johtaa teoriaan, joka on yhdenmukainen T: n kanssa. Tämä antaa meille suuren T: n kardinaalin kumppanin ja puhtaasti matemaattisen tutkimuksen Suurten kardinaalien osuus heijastaa sitten teorioiden vahvuuksien tutkimista. Se, että sellaista on lainkaan, on merkittävää. Sisämalliteoria on joukko-teoria-alue, joka koskee suorimmin itseään yrittäessään selittää tätä ilmiötä. Teorian kumppanin todellinen tunnistaminen on toisaalta nykyään enimmäkseen kombinatorinen kysymys, kiitos Cohenin pakottamismenetelmän.

Viittaukset yksiarvoisiin säätiöihin löytyvät täältä ja täältä. Käänteisen matematiikan osalta katso esimerkiksi täällä toisessa vastauksessa annetun linkin lisäksi. Katso todisteiden teoriasta täältä. Katso johdonmukaisuuden vahvuushierarkia joukko-teoriasta, katso täällä, vaikka monet John Steelin julkaisut ja keskustelut ovat myös merkityksellisiä. Myös monet MathOverflow- ja Math.Stackexchange-viesteistäni liittyvät tähän aiheeseen. Haluan tuoda esiin tämän.

#2
+9
quid
2014-10-31 20:18:52 UTC
view on stackexchange narkive permalink

On olemassa useita tuoreempia teoksia aiheista, joita voidaan pitää metamatematiikoina.

Esimerkiksi käänteisen matematiikan aloitti Harvey Friedman seitsemänkymmenen puolivälissä.

Viime aikoina homotooppityyppiteorian ja yksiarvoisten säätiöiden ympärillä oli melko vähän jännitystä paitsi sen lisäksi, että se sitoo mukavasti pyrkimyksiä saada automaattisesti tarkistettava todiste.

Ja on sanomattakin selvää, että todistusteoriassa ja muissa matemaattisen logiikan aloissa on useita muita töitä. Saatat havaita ongelman, joka ilmaistaan ​​ MathOverflow-vastauksessa metamatematiikkaa koskevaan kysymykseen. ongelmia tutkitaan edelleen, mutta niitä ei enää pidetä meta -matematiikoina vaan pikemminkin "vain tavanomaisina matematiikoina".

Kysymyksesi siirtyminen jonkin verran toiseen suuntaan saattaa väittää, että pyrkimykset tehdä yhä useammasta matematiikasta muodollista todentamista todentavien avustajien tai jopa automaattisen lauseen todentamisen kautta on yhtä luonnollinen ja nykyinen jatko matematiikan virallistamiselle.



Tämä Q & A käännettiin automaattisesti englanniksi.Alkuperäinen sisältö on saatavilla stackexchange-palvelussa, jota kiitämme cc by-sa 3.0-lisenssistä, jolla sitä jaetaan.
Loading...