Kysymys:
Mitä ryhmän teoreettisia tuloksia tiedettiin useista erikoistapauksista ennen ryhmän yleisen määritelmän vahvistamista?
Jack M
2014-10-31 05:48:08 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Monet tulokset ryhmäteoriassa todistettiin permutaatioryhmille ennen ryhmän yleisen määritelmän vahvistamista (esimerkiksi: Lagrangen lause, Sylow'n lauseet). Kuitenkin permutaatioryhmät eivät olleet ainoat tutkitut ryhmät 1800-luvulla, siellä oli myös geometristen muunnosten ja numeroiden teoriasta johtuvia ryhmiä (en voi antaa tarkempia tietoja, koska en suoraan sanoen tiedä yksityiskohtia).

Oliko useista erityistapauksista muita kuin pelkkä permutaatioryhmiä tiedossa yleisiä ryhmateorian tuloksia ennen kuin ryhmän yleinen määritelmä oli muotoiltu? Kysyn, koska mietin, olisiko tällaiset "sattumat" voineet motivoida ryhmän yleistä määritelmää. Esimerkkinä Lagrangen lause tunnettiin 1800-luvulla sekä permutaatioryhmien että $ \ mathbb Z / n \ mathbb Z $: n ( Euler: n kautta) kerrannaisryhmästä.

On luultavasti syytä huomauttaa (vaikka tiedätkin varmasti tämän), että kaikki puhtaasti ryhmien teoreettiset tulokset, jotka voidaan todistaa permutaatioryhmille, pätee abstrakteille ryhmille Cayleyn lauseella.
Radikaalien viidennen asteen polynomien ratkaisemattomuus todistettiin Galoisin edessä, sikäli kuin tiedän. Hän loi perustan yleiselle tapaukselle. Voisit väittää kuinka ryhmäteoreettinen tämä on.
Kaksi vastused:
#1
+5
Michael Weiss
2014-11-02 10:27:14 UTC
view on stackexchange narkive permalink

McTutor-arkiston artikkelissa The Abstract Group Concept kerrotaan vaiheista kohti modernia abstraktia määritelmää. Lyhyesti sanottuna Cayley teki ensimmäiset kompastusyritykset (viitaten assosiaatiolakiin nimenomaisesti) vuonna 1854, mutta vasta vuonna 1895 Weber antoi modernin määritelmän Lehrbuch der Algebra -lehdessään. Weber sisälsi loputtomia ryhmiä.

Mitä tulee alkuperäiseen kysymykseen: lukuun ottamatta mainitsemasi Lagrangen teoreemaa, en ole tietoinen tapauksista, joissa abstrakti määritelmä yhdistäisi aikaisemmat erilliset tulokset. Abstrakti määritelmä ei näytä perustaneen tätä halua. On kuitenkin totta, että Lie-ryhmät innoittivat suoraan Galois'n permutaatioryhmät ja Liein halu kehittää teoria diferenttiyhtälöille, joka on analoginen Galois-teorian kanssa.

Vaikuttaa myös uskottavalta, että Weber, kirjoittaessaan kattavan tekstin Algebrasta, näki mahdollisuuden yhdistää erilaisia ​​käsitteitä. Mutta se on vain spekulaatiota minulta.

#2
+2
Alexandre Eremenko
2014-11-02 01:01:48 UTC
view on stackexchange narkive permalink

"Lähes kaikki" löydettiin ennen kuin ryhmän yleinen nykyaikainen määritelmä oli vahvistettu :-) En ole varma, kuka antoi abstraktin ryhmän ensimmäisen määritelmän (joukko, jolla operaatio täyttää tällaiset aksiomit). Mutta luultavasti tämä tapahtui 20-luvulla (useille ihmisille on hyvitetty tämä). 1900-luvun matemaatikoille ryhmä oli joukko joukon muutoksia itseksi, ja ensimmäiset syvälliset tulokset kuuluvat Lagrangelle ja Galoisille.

Cayleylle hyvitetään yleensä ryhmän abstrakti määritelmä. Luulisin samassa vuoden 1854 asiakirjassa, jossa hän todisti Cayleyn lauseen.
@Michael Weiss: Voitteko antaa viitteen Cayleyn paperille? Tarkoittaako hän vain rajallisia vai mielivaltaisia ​​ryhmiä? Jos näin on, niin kaikki tulokset ennen vuotta 1854 todistettiin ennen ryhmän yleistä määritelmää. Erityisesti Galois-teoria.
http://books.google.com/books?id=_LYConosISUC&pg=PA40#v=onepage&q&f=false. En ole lukenut itse artikkelia, joten muotoilen kommentin.
@Michal Weiss:, luin ensimmäisen sivun ja se vahvistaa sanomani: Cayleylle ryhmän ELEMETNS ovat "operaatioita" tai "muunnoksia", pikemminkin jonkin abstraktin joukon elementtejä :-) Luulen, ettei kukaan käyttänyt " asettaa "systemaattisesti Cantorin eteen.
Oikein olet, vaikka jos lukisit loput artikkelista, löydät hänet kävelemässä kohti modernia konseptia. Samaan aikaan olen löytänyt McTutor-arkistoartikkelin, joka kuvaa abstraktin konseptin kehitystä.


Tämä Q & A käännettiin automaattisesti englanniksi.Alkuperäinen sisältö on saatavilla stackexchange-palvelussa, jota kiitämme cc by-sa 3.0-lisenssistä, jolla sitä jaetaan.
Loading...