Kysymys:
Funktion käsite ja kaavan idea funktiona
Kenny LJ
2014-11-04 21:52:26 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Enderton Joukkoteorian elementit , s. 43 (1977, Academic Press) kirjoittaa:

Oli haluttomuus erottaa itse funktion käsite ajatuksesta funktion määrittävästä kirjoitetusta kaavasta.

Mikä on yllä olevan historiallisen väitteen perusta? Ja missä vaiheessa funktion käsite itse kaavan ideasta erottui tiukasti?

Vaikuttaa mielenkiintoiselta, että tällä hetkellä perusvirheeksi katsotulla oli vahva historiallinen perusta.

Täydellisempi lainaus Endertonilta:

Enderton, p. 43

Tämä kysymys lähetettiin alun perin osoitteeseen Math.SE.

Sikäli kuin tiedän, ei ole mitään perustaa ajatukselle, että "haluttomuutta" oli kirjaimellisesti. Luulen, ettei kukaan koskaan vastustanut aktiivisesti konseptin yleistämistä.
@JackM on kuitenkin mielestäni tämän takana mielenkiintoinen historia. Muistan yhden kuuluisan matemaatikon esittäneen muodollisen käsitteen funktiosta, melko vähän myöhemmin kuin odotin tämän tapahtuneen (mutta en muista yksityiskohtia).
Neljä vastused:
#1
+8
Mauro ALLEGRANZA
2014-11-04 22:35:20 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Näet funktiokonseptin historian.

Euler (1748):

muuttujan määrän funktio on analyyttinen lauseke, joka koostuu millään tavalla muuttuvasta määrästä ja luvuista tai vakiomääristä

ie funktio oli "symbolinen lauseke", joka sai arvon "syötteenä" ja jonka avulla voimme laskea vastaavan "lähtö" -arvon.

Vaikuttaa siltä, ​​että se on Diricheletissä (1837, sivu 135) ), että löydämme ensimmäisen nimenomaisen määritelmän funktion käsitteestä "mielivaltaiseksi coerespondence":

Jos nyt ainutlaatuinen äärellinen $ y $ , joka vastaa kutakin $ x $ , ja lisäksi siten, että kun $ x $ vaihtelee jatkuvasti välillä $ a $ - $ b $ , $ y = f (x) $ vaihtelee myös jatkuvasti, sitten $ y $ kutsutaan x: n jatkuvaksi funktioksi tälle aikavälille.

Tässä ei ole lainkaan välttämätöntä, että $ y $ annetaan $ x $ yhden ja saman lain kautta koko aikavälin, eikä ole välttämätöntä, että sitä pidetään riippuvuutena, joka ilmaistaan ​​matemaattisilla operaatioilla [kursivointi lisätty].

#2
+7
Alexandre Eremenko
2014-11-05 08:48:19 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Suosittelen Luzinin erinomaista tilannetta kuukausittain: MR1615544, MR1613935 (American math Monthly 105 (1998), 1 59-67 ja 3, 263-270.

Yleensä unohdetaan, että siellä ovat tosiasiallisesti useita erilaisia ​​käsitteitä funktiosta nykyaikaisessa matematiikassa. Yksi on Dirichletin määritelmä, johon yleensä viitataan (jossa kahdelle joukolle annetaan X ja Y, ja sääntö, joka X: n jokaiselle elementille asettaa vastaavuuteen Y: n elementin). X on osa määritelmää!

Joten tyypin "etsi $ \ log ((x-1) (x-2)) $ toimialueen ongelmalla $ ei ole mitään järkeä tämän näkökulmasta määritelmä.

1700-luvulla Euler ymmärsi toiminnon eräänä analyyttisenä lausekkeena, jonka toimialuetta ei ole annettu etukäteen. Tämä erilainen käsite (Dirichletin määritelmän mukaan) ei ole "vanhentunut". Siitä kehittyi moderni "analyyttisen toiminnon" määritelmä. Karkeasti sanottuna "analyyttisellä lausekkeella" on "luonnollinen määrittelyalue", jota ei anneta etukäteen. Ja tyypin ongelmat "löytävät toimialueen o Analyyttisen funktion f-määritelmällä on täydellinen merkitys nykyaikaisessa matematiikassa.

Modernissa matematiikassa on myös muita käsitteitä funktioista (yleistetyt funktiot tai jakaumat), jotka eivät myöskään sovi Dirichlet-määritelmään. Lisäksi nämä yleistetyt toiminnot ovat jossain mielessä lähempänä sitä, mitä fyysikot ja insinöörit tarkoittavat toiminnolla kuin Dirichlet-määritelmä.

Kaikille kiinnostuneille lähetin vastauksen matematiikan StackExchange-kysymykseen [Mikä oli funktioiden merkintä ennen Euleria?] (Http://math.stackexchange.com/questions/) 12 artikkelin funktioidean kehittymisestä. 79613 / mikä-oli-funktioiden merkintä ennen euleria).
En tiedä kaikkia näitä artikkeleita, mutta tunnen suurimman osan niistä. He eivät kerro sinulle tarinaa 1900-luvun puolivälin jälkeen. Ja toimintakonseptia kehitettiin ja muokattiin huomattavasti 1900-luvulla.
@AlexandreEremenko: Onko sinulla viitteitä mihin Dirichlet määrittelee toiminnon koostuvan säännöstä, joka antaa vastaavuuden joukkojen välillä? Dirichletin antamissa määritelmissä, joita olen nähnyt, hän kutsuu funktiota $ y $.
#3
+1
Kenny LJ
2016-03-27 08:10:55 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Lisää vain. Annettuaan standardin, nykyaikaisen funktion määritelmän, Stephen Abbott ( Analyysin ymmärtäminen s.7) huomauttaa:

Tämä funktion määritelmä on enemmän tai vähemmän yhden ehdotti Peter Lejeune Dirichlet (1805–1859) 1830-luvulla. Dirichlet oli saksalainen matemaatikko, joka oli yksi johtajista kehitettäessä tiukkaa lähestymistapaa toimintoihin, jotka aiomme suorittaa. Hänen tärkein motivaationsa oli selvittää Fourier-sarjan lähentymiseen liittyvät kysymykset. Dirichletin panos on näkyvästi osassa 8.3, jossa esitellään Fourier-sarjan esittely, mutta tapaamme hänen nimensä myös useissa aikaisemmissa luvuissa matkan varrella. Tärkeää on tällä hetkellä se, että näemme kuinka Dirichletin funktion määritelmä vapauttaa termin sen tulkinnasta eräänlaisena "kaavana". Dirichletin aikaan edeltävinä vuosina termin "funktio" ymmärrettiin yleensä tarkoittavan algebrallisia kokonaisuuksia, kuten $ f (x) = x ^ 2 + 1 $ tai $ g (x) = \ sqrt {x ^ 4 + 4} $. [Yllä oleva määritelmä] antaa paljon laajemman mahdollisuuden.

#4
+1
Michael Bächtold
2018-01-11 15:06:47 UTC
view on stackexchange narkive permalink

En usko, että se on aivan niin selkeä, koska suosittu mielipide ("Euler ajatteli vain symbolisia ilmaisuja, kun taas Dirichlet antoi modernin määritelmän") saa meidät uskomaan. Harkitse esimerkiksi tätä funktioiden määrittelyä Eulersin myöhemmästä työstä, Institutiones calculi differentialis , 1755, Esipuhe s.VI ::

Siten kun jotkut määrät riippuvat niin suuresti muista määristä, että jos jälkimmäisiä muutetaan, ensimmäisissä tapahtuu muutoksia, niin ensimmäisiä määriä kutsutaan jälkimmäisten funktioksi; tätä määritelmää sovelletaan melko laajasti, ja siihen sisältyy kaikki tapat, joilla muut voivat määrittää yhden määrän. Jos siis $ x $ tarkoittaa muuttuvaa määrää, niin kaikkia määriä, jotka riippuvat millään tavalla $ x $: sta tai ovat sen määrittämiä, kutsutaan sen funktioksi.

Esimerkkejä ovat $ x ^ {2 } $, $ x $: n neliö tai mikä tahansa muu $ x $: n voima, ja todellakin, jopa määrät, jotka koostuvat näistä voimista millään tavalla, jopa transsendentaaliset, yleensä mikä tahansa riippuu $ x $: sta tällä tavalla että kun $ x $ kasvaa tai pienenee, funktio muuttuu. Tästä tosiasiasta nousee kysymys; nimittäin, jos määrää $ x $ suurennetaan tai vähennetään, kuinka paljon funktiota muutetaan, onko se suurennettu vai pienempi?

Mielestäni tämä ei poikkea olennaisesti Dirichletin sanoista .

Lisäksi Dirichlet ei koskaan puhunut joukkoista tai kartan toimialueesta tai koodialueesta, eikä hän kutsunut "sääntöä" funktioksi, kuten kaikissa kirjoissa oleva moderni määritelmä. Katso myös Kuka piti ensin dollaria $ f $ x ($) $ itsessään esineenä ja kuka päätti kutsua sitä funktioksi?



Tämä Q & A käännettiin automaattisesti englanniksi.Alkuperäinen sisältö on saatavilla stackexchange-palvelussa, jota kiitämme cc by-sa 3.0-lisenssistä, jolla sitä jaetaan.
Loading...