Kysymys:
Kuinka ja milloin Bolzanon todiste Bolzano-Weierstrass-lauseesta löydettiin uudelleen?
Wandering Logic
2014-10-29 21:16:22 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Olen aina ollut utelias kuinka upeat unohdetut ideat löydetään uudelleen. Tämä kysymys: Onko olemassa kirjallisia (1800-luvulta peräisin olevia) lähteitä, jotka ilmaisevat uskomuksen, että väliarvo-ominaisuus vastaa jatkuvuutta? johti minut seuraavaan artikkeliin:

Schubring, Gert: " Bernard Bolzano - Ei ole niin tuntematon hänen aikalaisilleen kuin yleisesti uskotaan?" Historia Mathematica , 20 (1): 45-53, 1993. (Elsevierin palomuuri Valitettavasti en löytänyt vapautettua versiota.)

jossa sanotaan, että "Herman Hankel on hyvitetty siitä, että hän oli ensimmäinen, joka nosti Bolzanon matemaattisen yhteisön yleiseen huomioon vuonna 1871. " (ja Schubring väittää, että itse asiassa Bolzanon työ oli todennäköisesti tiedetty Crellen Berliinin piirissä noin vuonna 1825, ennen kuin se unohdettiin.)

Kuinka Hankel tuli Bolzanon työhön ja tunnusti, että Bolzanolla oli etusija Weierstrass?

üks vastaus:
#1
+8
Logan M
2014-11-03 10:14:21 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Kohtuullinen varoitus: tämä vastaus ei vastaa täysin kysymykseen, mutta mielestäni se voi vastata kysymykseen niin hyvin kuin mahdollista.

Hankelin kirjoittama artikkeli (julkaistu 1971), joka on yleisesti hyvitetty "uudelleen löytämisestä" Bolzanon työ oli artikkeli Allgemeine Encyclopädie der Wissenschaften und Künste: n 1 Theil 90 -lehdestä (Gregorius - Grezin), joka on yksi suurimmista koskaan kirjoitetuista tietosanakirjoista (ulottuu 167 teosta huolimatta keskeneräinen). Voit lukea tämän osan vapaasti täällä Google-kirjoissa. Hankelin artikkeli on "Grenze" ("rajat").

Bolzanoa koskeva asiaankuuluva kappale on sivuilla 209–210, samalla kun keskustellaan analyysihistoriasta. Annan karkean käännöksen modernista englanniksi tästä kappaleesta. Huomaa, että en osaa saksan vieressä, joten käännös on paljon arvauksia, ja voisin olla väärässä joissakin paikoissa. Jokaisen, joka osaa saksaa, pitäisi vapaasti havaita virheitä.

Vielä pahempaa oli toinen aikalainen, joka pysyi silloin ja nyt melkein täysin tuntemattomana matemaatikoiden keskuudessa: Meidän on vaadittava takaisin ensimmäisen tiukan kehityksen prioriteetti. sarja algebrallisia analyyseja erinomaisen Bernhard Bolzanon hyväksi. Bolzanon käsitykset sarjan lähentymisestä on kirjoitettu melko selkeästi ja oikein, kaikki sen toiminnot äärettömillä sarjoilla ovat kaikki tiukasti todistetut, eikä mikään ole vialla näiden lausuntojen kehittämisessä todellisiksi argumenteiksi, minkä hän olettaa kaikkialla. Esipuheessa hän kritisoi osuvasti Binominal-lauseen aikaisempia johdannaisia ​​ja sitten loputtomien sarjojen tavanomaista rajoittamatonta käyttöä. Lyhyesti sanottuna tämä työ ei ollut pelkästään ranskalainen taide, vaan hän tulisi sijoittaa tässä suhteessa samalle tasolle Cauchyn kanssa ja ilmaista ajatuksensa miellyttävällä tavalla. Mutta Bolzano pysyi tuntemattomana ja unohdettiin pian; Cauchy oli onnekas, jota ylistettiin tieteen uudistajana ja jonka tyylikkäät kirjoitukset löysivät yleistä levitystä lyhyessä ajassa.

Tässä kappaleessa Hankel kiittää periaatteessa Bolzanoa siitä, että hän on kehittänyt suuren osan analyysin perusteista Cauchysta (ja vuosia ennen). Bolzanon työ jäi kuitenkin tuntemattomaksi, kun taas Cauchyn, joka oli hyvin yhteydessä ranskalaisiin matematiikkapiireihin, oli helppo kommunikoida työstään. Hankel ei mainitse, mistä tai miten hän löysi Bolzanon teoksen.

Jotkut historialliset kommentit ovat tässä kunnossa. 1871 on merkittävä vuosi; se on vuosi, jolloin Ranskan ja Preussin sota oli Saksassa voimakas kansallinen ylpeys ja yleinen inhoaminen kaikesta ranskalaisesta. Tietosanakirja, johon Hankel kirjoitti, oli tarkoitus olla tietynlaista tietosanakirjaa "saksalaisten hyväksi". Hankel ei varmasti olisi ollut onnellinen joutuessaan antamaan analyysin kehittämisen kunnian ranskalaiselle Cauchylle. Oli paljon parempi antaa se Bolzanolle. Toki, Bolzano ei ollut ihanteellinen saksalainen matemaatikko, joka vietti suurimman osan akateemisesta urastaan ​​Itävallassa ja oli yhtä paljon filosofi ja teologi kuin matemaatikko (ja kiistanalainen), mutta hän puhui ja kirjoitti saksaksi, ja yhtä tärkeätä, ei ollut ranska. Ja Bolzano teki todella (suurimmaksi osaksi) asioita, jotka Hankel antoi hänelle. Selvyyden vuoksi en ole syyttänyt Hankelia väärinkäytöksistä osoittamalla tämän vain sanomalla, että hänellä oli huomattava kiinnostus osoittaa niin paljon kuin pystyi Bolzanoon.

On kuitenkin jotain asiaa analyysirajojen kehityksen osoittaminen Bolzanolle Cauchyn yli, vaikka se onkin filosofisempaa kuin matemaattista. Bolzanolla oli todennäköisesti hyvin erilainen tulkinta lauseistaan ​​kuin myöhemmillä lukijoilla. Steve Russ väittää teoksessa "Bernard Bolzanon matemaattiset teokset", että Bolzano ei olisi ajatellut teoreemejaan lainkaan rajojen suhteen, minkä hän olisi liittänyt niihin äärettömiin asioihin, joita hän yritti poistaa. Sivuilta 146-147:

Bolzanon työn moderni tunnustaminen herättää kuitenkin historiallisen ongelman. Hankelin artikkelista vuonna 1871 ja Bitkhoffin (1973) otteista kommentaattorit ovat olleet taipuvaisia ​​antamaan erityistä kiitosta Bolzanolle asioista, jotka hän näki tuolloin hyvin erilaisessa valossa kuin nämä myöhemmät kriitikot. Ajattelemme tässä aritmeettista rajakäsitettä ja loputtomien sarjojen lähentymisen käsitettä, jotka hyväksytään tänään. Näitä käsitteitä oli käytetty jossain muodossa pitkään, ja kirjoitustensa muiden esimerkkien perusteella Bolzano ei olisi ollut liian vaatimaton väittäen niitä uusiksi ja alkuperäisiksi, jos hän olisi pitänyt niitä sellaisina. Hän ei tee niin. Epäilemättä hänellä oli suuri luottamus näihin määritelmiin; he täyttivät hänen käsitteelliset vaatimukset, hän tiesi, että ne olisivat hedelmällisiä ja tehokkaita analyysin kehittämisessä, mutta hän ei koskaan väitä olevansa omia ...

Oletetaan yleisesti, että ω: ksi tai Ω: ksi merkittyjen määrien käyttöönoton jälkeen mahdollisesti tilaajien kanssa on kuvattu kohdassa BL §14 ff. melko tavanomainen teoria rajoista. Ironista on, että Bolzanolla, yhdessä useimpien aikalaistensa kanssa, olisi liittynyt rajoja loputtomiin prosesseihin (tai äärettömän pieniin määriin). Ja niin hän olisi tällä hetkellä kauhistunut liittyessään tällaiseen teoriaan. Samanlaisia ​​huomautuksia sovelletaan hänen sarjaan lähentymistä koskevaan työhön. Hän uskoi käsittelevänsä negatiivisten ja rationaalisten eksponenttien binomisarjaa puhtaasti rajallisella tavalla. Tapa, jolla hän käyttää ω-suuruuksiaan - muuttuvia määriä, joista voi tulla pienempi kuin mikä tahansa annettu määrä tai joista voi tulla niin pieniä kuin haluamme, vetoaa luonnollisesti rajattomaan arvoalueeseen. Voimme kutsua niitä "mielivaltaisesti pieniksi määriksi". Rusnock ehdottaa, että sellainen muuttujan käsite, josta voi tulla niin pieni kuin halutaan, oli tuolloin yleinen. Se on jonkinlainen vastine fyysiselle muuttujalle. Hän ehdottaa, että Bolzanon ω-arvot voidaan tulkita nollaa sisältävien arvojen alueiksi ...

Toisin sanoen Hankelin arvio Bolzanosta Tarkka analyysirajojen teoria, vaikka se onkin oikea matemaattisen sisällön suhteen, on varmasti väärä, jos otamme huomioon hänen työnsä filosofiset näkökohdat. Mutta tietysti, vaikka Hankel tajusi tämän, hänellä ei ollut juurikaan voittoa, kun hän mainitsi nimenomaisesti artikkelissaan. Joka tapauksessa Bolzanon menetelmät tai hänen lauseet eivät olleet yhtä tiukkoja kuin Cauchy; vain hänen tulkintansa lauseiden määritelmistä ja sisällöstä oli erilainen.

Joka tapauksessa huomaat, että Hankel ei maininnut nimenomaan Bolzano-Weierstrassia eikä väliarvolause (mikä oli Bolzanon perimmäinen tavoite, jota kohti Bolzano-Weierstrass oli vain lemma). Se ei ole kovin yllättävää. Vaikka Hankel oli todennäköisesti tietoinen Weierstrassin tuloksesta (he olivat hyvin perehtyneitä toisiinsa, Hankel oli työskennellyt Weierstrassin kanssa Berliinissä vuonna 1861 ennen tohtorintutkintoa), se oli luultavasti liian äskettäin ymmärretty sen merkitystä, varsinkin tällaisen tutkimuksen yhteydessä. julkaisu. Ei ole edes selvää, että Hankel oli lukenut Bolzanon työn väliarvolauseeseen liittyvät osat; artikkelissa mainitsemansa osat ovat muualla. Joten Hankel ei todellakaan vakiinnuttanut Bolzanon prioriteettia täällä.

Hankelin alkuperäisen viittauksen jälkeen jotkut matemaatikot palasivat takaisin ja lukivat Bolzanon erilaisia ​​teoksia tulkitsemalla ne uudenaikaisemmalla kielellä. Erityisesti Otto Stolzille hyvitetään monien hänen matemaattisten teostensa löytämistä ja uudelleenjulkaisemista vuonna 1881. Tähän sisältyi asiaankuuluva artikkeli, Bedeutung in der Geschichte der Infinitesimalrechnung , joka on edennyt Weierstrassille ja jopa Cauchy, vahvistamalla Bolzanon prioriteetti väliarvolauseelle ja Bolzano-Weierstrass-lauseelle. Useat muut vaikutusvaltaiset saksalaiset matemaatikot ja filosofit lukivat myös Bolzanon teoksia, ja löydettiin muutama mielenkiintoinen matemaattinen tulos. Hänen perintönsä todennäköisesti vahvistui erilaisissa historiallisissa muistiinpanoissa erittäin vaikutusvaltaisessa (ainakin Göttingenissä) Enzyklopädie der mathematischen Wissenschaften mit Einschluss ihrer Anwendungen -julkaisussa, joissa hänen työnsä mainitaan useita kertoja olevan aikansa edellä.

Se vastaa Bolzano-Weierstrassin kysymykseen, mutta on edelleen viipyvä vastaamaton kysymys, nimittäin kuinka Hankel edes löysi Bolzanon (mikä oli iso osa alkuperäistä kysymystäsi). En tiedä vastausta siihen, ja parhaan tietoni mukaan kukaan ei tiedä. Ehkä hänellä oli käsitys siitä, että siellä oli Itä-Euroopan analyyttisen filosofian koulu, joka 1800-luvun alkupuolella käsitteli äärettömyyteen liittyviä kysymyksiä ja oli tyytymätön Leibnizin epäviralliseen lähestymistapaan laskemiseen. Tai ehkä kirjoittaessaan artikkelia hän keskusteli jonkun kanssa (mahdollisesti jonkun kanssa, joka tunsi Bolzanon työn 1820-luvulta, mainitsit lainaamasi artikkelin, tai mahdollisesti ei edes matemaatikon kanssa), joka ehdotti hänen etsivän sitä suunta. Hankel teki kunnollisen määrän tutkimusta matematiikan historiasta (vaikka hänen historiallisissa teoksissaan oli tyypillisesti huomattavia virheitä) ja korosti myös Hermann Grassmannin työn merkitystä vuonna 1867 kaksi vuosikymmentä sen jälkeen, kun Grassman oli käytännössä pysähtynyt matematiikkaa, joten hänellä oli varmasti jonkinlainen laajempi käsitys edeltäjiensä teoksista kuin aikansa keskimääräinen matemaatikko. Kuinka tarkasti Hankel löysi Bolzanon, on kenenkään arvaus, mutta kun hän löysi, on melko selvää, että hän ei vain ohittanut sitä artikkelissaan riippumatta siitä, mitä Bolzano teki / ei ajatellut tulkita tuloksiaan. Hankel kuoli vuonna 1873, vain 2 vuotta artikkelin julkaisemisen jälkeen, ja parhaan tietoni mukaan hän ei koskaan kommentoinut Bolzanon työtä uudelleen. Vaikka voisi pystyä seuraamaan erilaisten matemaatikkojen liikkeitä vuosina 1817–1871 yrittämään selvittää, miten ajatus on voitu välittää Hankelille (näennäisesti Herculean tehtävä, vaikkakaan teknisesti mahdoton), päädymme parhaimmillaan arvaus, ja totuus on todennäköisesti menettänyt historian.



Tämä Q & A käännettiin automaattisesti englanniksi.Alkuperäinen sisältö on saatavilla stackexchange-palvelussa, jota kiitämme cc by-sa 3.0-lisenssistä, jolla sitä jaetaan.
Loading...