Kysymys:
Mikä motivoi Cantoria keksimään joukko-teoriaa?
Ben
2014-10-29 11:13:15 UTC
view on stackexchange narkive permalink

En voi kuvitella matematiikkaa ilman sarjoja, mutta kysymykseen "millainen matematiikka oli ennen sarjoja" ei mielestäni voida vastata. Sen sijaan hyvän vastauksen otsikkokysymykseen pitäisi kattaa tietty osa yleisempää kysymystä.

Luulen, että matematiikan perustan löytäminen oli myös pelissä. Enkö ole varma, onko Cantor uusi asiasta.
En tiedä, onko tämä linkki jo annettu tässä säikeessä, mutta mielestäni minun pitäisi jakaa se täällä. http://www.ias.ac.in/resonance/Volumes/19/11/0977-0999.pdf
Kiitos @ankit,, se on erittäin mukava ja ehdottoman tärkeä artikkeli.
Et tietenkään voi kuvitella matematiikkaa ilman sarjaa - matematiikka ennen muodollista joukko-teoriaa ei ole sama kuin "matematiikka ennen kuin joukkoa oli". Kuten * algoritmeja *, oli olemassa ikuisesti, vaikka niiden virallistaminen ei olekaan 150 vuotta vanha, ihmiset käyttivät aina kokoelmien (* sarjoja *) risteyksiä ja niin edelleen.
Kolme vastused:
#1
+40
quid
2014-10-29 15:41:32 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Cantorin välitön motivaatio työskennellä sen suhteen, mistä tuli joukko-teoria, oli hänen aikaisempi työ trigonometristen sarjojen parissa. Ratkaistakseen kyseisen alueen ongelman hän piti tällaisen funktion nollien joukkoa (suljettua joukkoa), sitten tämän ryhmän johdettua joukkoa, tämän ryhmän johdettua joukkoa ja niin edelleen. Tämä kaikki on edelleen klassista, mutta sen jälkeen sen oli mentävä askel pidemmälle, jotta voidaan ensin tarkastella kaikkien näiden joukkojen leikkauspiste ja sitten johdettu joukko tuo joukko ja niin edelleen.

Joten hän tuli harkitsemaan rajattomia ordinaaleja.

Tästä keskustellaan monissa eri paikoissa, kuten "Trogonometristen sarjojen joukon teoria ja ainutlaatuisuus", kirjoittanut Kechris tai " Trigonometristen sarjojen ja kuvailevan joukon teoria, 1870–1985 ", Roger Cooke (Arkisto täsmällisten tieteiden historiaan, 1993)

Alkuperäinen artikkeli on (mielestäni) " Ueber die Ausdehnung eines Satzes ais der Theorie der trigonometrischen Reihen (Math . Annalen, 1872) "

Toinen motivaatio oli hänen aikaisempi lukuteoriatyönsä. Käyttämällä sitä, mitä nyt kutsutaan diagonalisointiargumentiksi, hän pystyi osoittamaan tulokset transsendentaalisten numeroiden olemassaolosta. Tämä on hänen vuonna 1874 julkaisemassaan artikkelissa "Über eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen" ("Kaikkien todellisten algebrallisten numeroiden kokoelman omaisuudesta")

Lyhyesti sanottuna alkuperäinen motivaatio oli saada parempia työkaluja edistymistä nykyisissä ongelmissa.

Onko sinulla viitteitä ensimmäiseen kohtaan?
Lisäsin joitain viitteitä.
Ehdotettujen viitteiden lisäksi tavallinen paikka lukea tästä on Jourdainin esipuhe hänen käännökselleen Cantorin matematiikasta. Annalen-muistelmat, [* Osuudet transfinite-numeroiden teorian perustamiseen *] (https://archive.org/details/contributionstot003626mbp).
Kaikkein yksityiskohtaisin keskustelu, jonka tiedän englanniksi Cantorin trigonometristen sarjojen papereista, on Daubenin * Trigonometrinen tausta Georg Cantorin joukko-teorialle *. Mitä tulee Cantoriin, joka laajentaa laskettavuusargumentin rationaalista algebrallisiin numeroihin, tämä on peräisin Dedekindiltä kirjeillä Cantorille. Englanninkieliset käännökset asiaankuuluvista kirjeistä ovat Ewaldin kirjan sivuilla 844-850 (viite ** [7] ** [täällä] (http://hsm.stackexchange.com/questions/451/did-galileos-writings-on (ääretön vaikutus-kantori)). Ks. Myös Ferreirósin vuoden 1999 kirjan s. 177-186 ja hänen Historia Math. paperi.
#2
+18
Alexandre Eremenko
2014-11-08 19:11:31 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Itse asiassa Cantor oli käsittelemässä tiettyä ongelmaa trigonometristen sarjojen teoriasta, niin kutsuttua ainutlaatuisuusongelmaa (en voi olla tarkempi, ennen kuin MathJax on otettu käyttöön tällä sivustolla). Tämä ongelma sai hänet harkitsemaan mielivaltaisia ​​joukkoja todellisella linjalla. Tarkoitan monimutkaisempia sarjoja kuin äärellisiä joukkoja tai rajallista välien yhdistämistä. Tuolloin ei ollut työkaluja eikä terminologiaa mielivaltaisten joukkojen tutkimiseen, joten kaikki tämä oli luotava.

Tämän tutkimuksen aikana hän loi joukko-teorian lisäksi myös nykyisen topologian. . (On mielenkiintoista huomata, että trigonometristen sarjojen alkuperäisellä ongelmalla ei ole täydellistä ratkaisua tähän päivään :-)

Alkuperäinen todistusmenetelmä, ns. "Diagonaalinen menettely", palaa Cantorin edeltäjään, Paul du Bois Reymond, joka opiskeli myös trigonometrisiä sarjoja.

Anteeksi nit-pickista, mutta huomaan sen toisen kerran: MathJax ei MathJack.
Lävistäjäprosessi syntyi myös ympäristössä, joka ei liity trigonometristen sarjojen tutkimukseen. [Tässä] (http://math.stackexchange.com/a/538578/462) on joitain yksityiskohtia. Ja [täällä] (http://andrescaicedo.wordpress.com/2013/11/04/analysis-on-praise/) on Hardyn lainaus, joka selittää ehkä miksi du Bois-Reymondia ei tunneta paremmin.
Olet aivan oikeassa. Lävistäjämenetelmää käytettiin "äärettömyysjärjestysten" tyyppisiin kysymyksiin. Mutta du Bois-Reymond tutki myös trig-sarjoja, vain mielenkiintoinen sattuma :-)
@quid: Kiitos! Voit itse muokata tekstiä, kun huomaat virheellisiä tulosteita.
Valitettavasti minulla ei ole vielä tarpeeksi pisteitä muokattavaksi, ja ehdotetuille muokkauksille on merkkiraja.
#3
+1
user5737
2017-05-10 16:06:09 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Cantorin itsensä mukaan hänen halunsa korvata luonnon mekaaninen selitys täydellisemmällä teorialla. Katso useita näkökohtia kohdasta Mikä Cantorin väitteistä on totta??



Tämä Q & A käännettiin automaattisesti englanniksi.Alkuperäinen sisältö on saatavilla stackexchange-palvelussa, jota kiitämme cc by-sa 3.0-lisenssistä, jolla sitä jaetaan.
Loading...