Kysymys:
Mitkä esimerkit johtivat topologisen tilan nykyaikaiseen määrittelyyn?
Paul Siegel
2014-10-29 17:44:23 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Nykyään topologisten tilojen kieli avoimien joukkojen kautta on olennaista monilla matematiikan alueilla, ja on vähän salaperäistä, että sama formalismi vangitsee onnistuneesti niin monenlaisen käyttäytymisen. Voin ajatella useita itsenäisiä syitä keksiä topologian määritelmä, jotka kaikki olisivat olleet matemaatikkojen tutkanäytöissä ajankohtana, jolloin määritelmää alettiin hahmottaa 1900-luvun alussa:

  1. Luoda perusta Kleinin Erlangen-ohjelmalle ja Poincaren työlle Betti-numeroista ja perusryhmästä
  2. Selventää laskennan perusteita, esim. tiiviyden rooli ääriarvolauseessa
  3. Erottaa toimintojen lähentymisen eri käsitteet (mikä johtaa funktionaaliseen analyysiin)
  4. Antaa merkityksen argumenteille, jotka sisältävät "yleisiä" kokoonpanoja algebrallisessa geometria

Ymmärrän, että topologisten tilojen modernin muodollisuuden ilmaantuminen kesti jonkin aikaa, joten mietin, mitkä tietyt tulokset tai esimerkit vaikuttivat eniten sen kehitykseen? Ja mitkä teorian modernit sovellukset toteutettiin vasta sen kypsymisen jälkeen?

Luulen, että Volterra ja jotkut muut (uskon 1880-luvun puolivälistä tai lopusta), jotka alkoivat yrittää ymmärtää variaatiomenetelmiä puhumalla laskennan tekemisestä "käyrän funktioiden" (esim. Niiden pituuden) ja Frechetin myöhemmän yhdistymisen kanssa näistä ideoista vuonna 1906 Ph.D. opinnäytetyöllä oli paljon tekemistä topologian käsitteiden evoluution kanssa. Katso myös matemaattinen Stackexchange-kysymys [Topologian modernin määritelmän alkuperä] (http://math.stackexchange.com/questions/70445/origins-of-the-modern-definition-of-topology).
Se on hyvä kysymys miksi topologia otetaan käyttöön avoimien sarjojen kautta. Kun heidät esiteltiin fysiikkatunnilleni yliopistossa - ne näyttivät selvästi vaikuttamattomilta, ja käsite avoimista sarjoista ei ollut heille lainkaan luonnollinen. Itse asiassa topologia voidaan ottaa käyttöön yleistämällä rajat - mikä heidän mielestäni olisi paljon luonnollisempaa. Uskon, että Liebnizilla oli jo nykykäsitys jatkuvuudesta alkion muodossa.
Kaksi vastused:
#1
+7
Michael Weiss
2014-10-30 00:42:24 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Uskon, että moderni määrittelymme topologisesta avaruudesta tuli lähinnä Hausdorffin kirjasta Grundzüge der Mengenlehre (Perustettu joukko-teoria), joka julkaistiin ensimmäisen kerran vuonna 1914, 2. painos. 1927. Hausdorff aloitti metrisistä välilyönneistä, mutta sitten yleisti ne.

Hausdorffin työn taustalla oli tietysti 19. jatkuvuutta käsittelevä työ ja niin kutsuttu "analyysin aritmetointi" --- yritys laskea kiinteälle loogiselle perustalle. Suurimmat nimet ovat Cauchy, Weierstrass, Dedekind, Bolzano ja Cantor. Mutta yleisen topologian aksiomatisaatio avoimien tai suljettujen joukkojen suhteen johtuu Hausdorffista.

Kuulemani versio sanoo todellakin, että se oli Hausdorff. Jakotukin määritelmässä on vähän naapurustoja, jotka on kartoitettu bijektisesti pallojen avaamiseksi euklidisessa avaruudessa siten, että siirtymäkartat ovat siellä, missä ne ovat päällekkäin, jatkuvia euklidisessa avaruudessa. Sitten Hausdorff näki, että "jatkuvan funktion" määritelmässä välillä $ X \ Y $ sinun ei tarvinnut naapurustoja vastaamaan euklidisen avaruuden sarjoja, voit vain sanoa jokaisesta $ a \: sta X $: ssa ja jokaisesta naapurusto $ B $ tai $ f (a) $ $ Y $: ssa on naapuruus $ A $ $ $ $ $ X $: ssa siten, että $ f $ kartoittaa $ A $: n $ B $: ksi. ...
... Joten sitten hän sanoi: entä jos otamme tämän ** määritelmäksi ** sellaiselle avaruudelle, jossa voimme määritellä "jatkuvan toiminnan". Hän antoi aksioomat tälle, missä pisteiden naapurustot olivat primitiivinen käsite. Myöhemmin toiset keksivät muita määritelmiä, ja Hausdorff osoittautui pieneksi erityistapaukseksi, ja nyt se tunnetaan nimellä "Hausdorff-tila".
@GeraldEdgar Kuulin saman tarinan, sillä käänteellä, että hän mukautti differentiaaliputken määritelmää yleisempään jatkuvaan tapaukseen. Myös Weylin piti olla mukana jotenkin. Mutta en ole pystynyt jäljittämään, mistä luin tämän. En löytänyt sitä Weylin The Concept of a Riemann Surface -sivulta.
#2
+3
Tom Au
2014-10-29 18:36:28 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Topologisten tilojen juuret näyttävät olevan yhdeksästoista vuosisata . Se alkoi epäsuorasti rajojen teemalla ja delta-epsilon-todisteilla. Merkittävä läpimurto tapahtui joukko-teorian (esim. DeMorganin lait) kehityksellä vuosisadan puolivälissä ja loppupuolella. Tämä johti raja-, konvergenssi- ja keräyspisteen aksiomien "yleistymiseen" käyttämällä avoimen ja suljetun joukon teoriaa. Topologiaa kutsutaan joskus "pistejoukkoteoriaksi".

Lainailmasi sovellukset tulivat "myöhemmin" eli 1900-luvulla. Niin tekivät niin kutsutut erotusaksiomit, jotka alkoivat Hausdorff-tiloista, vuonna 1914 ja jatkuivat vuosisadan puolivälissä. Mutta perusta näille sovelluksille luotiin edellisellä vuosisadalla.

Tämä ei vastaa lainkaan kysymykseen, jossa nimenomaan kysytään * esimerkkejä topologisista tiloista *. Vastauksesi ei ole täysin hyödytön, mutta mielestäni se olisi parempi kommenttina.
@JackM: Kysymyksessä toimenpideohjelma kysyi "mitkä tietyt tulokset tai esimerkit olivat vaikuttavimpia ..." Vastasin käyttämällä "tuloksia", ei esimerkkejä. Olet matemaatikko ja käsittelet "esimerkkejä". Olen historioitsija ja käsittelen "aikatauluja". . Joten vastaukseni ulottuu aina 1800-luvulle. Joillekin ihmisille "iso kuva" voi olla yhtä hyödyllinen kuin nykyajan esimerkit.


Tämä Q & A käännettiin automaattisesti englanniksi.Alkuperäinen sisältö on saatavilla stackexchange-palvelussa, jota kiitämme cc by-sa 3.0-lisenssistä, jolla sitä jaetaan.
Loading...